E.D.V.S. aplicaciones de crecimiento y decrecimiento

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 

CONCEPTO:  Una ecuación diferencial junto con condiciones complementarias de la función desconocida y sus derivadas, todas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye lo que llamaremos un problema de valor inicial. En concreto, para una ecuación diferencial de orden n, que en su forma más general se puede escribir F(x, y, y0 ,... ,yn) )=0, un problema de valor inicial es considerar, junto con dicha ecuación, n condiciones complementarias del tipo: y(x0) = y0, y0 (x0) = y1, . . . ., yn−1)(x0) = yn−1 Las condiciones complementarias se denominan condiciones iniciales. El término “condiciones iniciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0. Una solución de un problema de valor inicial es una función que satisface tanto la ecuación diferencial como todas las condiciones complementarias.

FUENTE:


http://personal.us.es/niejimjim/tema01.pdf

ALGORITMO:

1. Se tiene un problema de crecimiento.

2. a) Se pide calcular el tiempo que tardarán en alcanzar el doble de tamaño b) Indicar la población en 3 años.

3. Se integra la fórmula de crecimiento.

4. Derivar esa fórmula.

5. Despejar "p" con respecto al tiempo (t) y obtenemos la ecuación de crecimiento

6. Obtener las condiciones iniciales con respecto a los datos dados en el problema

7. Se despeja Po (población inicial).

8. Al despejar se obtiene el valor de "c"

9. En la ecuación de crecimiento sustituir los valores de tiempo dados y resolver.

10. Se obtendrá el valor de "k"

11. Sustituir el valor de "k" en la ecuación de crecimiento y se obtendrá la ecuación particular de la  población.

12.  Esa misma ecuación resolver aumentando el doble (que es lo que te se te pide en el problema).

13. Despejar  el tiempo "t" dicha ecuación.

14.  Se obtiene el valor de "t" y ya tenemos la respuesta del inciso a.

15. En la ecuación de crecimiento sustituir los valores de tiempo (3 años) y resolver

16. Se obtiene la respuesta del inciso b.

17. Fin.

EJEMPLO:

E.D.V.S soluciones particulares y sus aplicaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 

CONCEPTO:  Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir, en ella, y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. 

Se puede comprobar que y = ln x es una solución de la ecuación xy00 + y0 = 0 en el intervalo (0,∞). 2. Se puede comprobar que y = 1/(x2 − 1) es una solución de y0 + 2xy2 = 0 en el intervalo (−1, 1), pero no en ningún otro intervalo mayor que contenga a éste. 3. Se puede probar que toda solución de la ecuación y0 + 2y = 0 es de la forma y = Ce−2x.

FUENTE:

http://personal.us.es/niejimjim/tema01.pdf

ALGORITMO:

1. Se tiene una ecuación y tres puntos (x=1 y=1) (x=1 y=3) (x=2 y=5)

2. Resolver la ecuación reemplazando y` por dy/dx

3. Despejar dy

4.  Pasar las "x" para un lado =  las "y" en el otro lado.

5. Integrar y resolver.

6. Se obtendrá la solución general. 

7. Se despeja c y se resuelve.

8. Se obtiene el valor de c sustituyendo los valores x=1 y=1 

9. Se sustituye el valor de "c" en la solución general.

10. Así se obtiene la solución particular.

11. Se hace una tabla donde los valores de "x" van de -3 a 3.

12. Los valores de "y" se obtienen al sustituir los valores de x en la ecuación particular.

13. Se obtiene el valor de c sustituyendo los valores x=1 y=3

14. Se sustituye el valor de "c" en la solución general.

15. Así se obtiene la solución particular.

16. Se hace una tabla donde los valores de "x" van de -3 a 3.

17.  Los valores de "y" se obtienen al sustituir los valores de x en la ecuación particular.

18. Se realiza el mismo procedimiento para los valores (x=2 y=5)

19. Teniendo las tres tablas con los valores, se grafica.

20. Fin.

EJEMPLO:

Graficar Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

GRAFICAR SOLUCIÓN PARTICULAR DE UN E. D. V. S.

CONCEPTO: La solución particular de una ecuación diferencial  es aquella que se presenta con una condición inicial (se conoce un punto por donde pasa). 
Llamaremos solución particular de una ecuación diferencial a cada una de las soluciones que forman parte de su solución general, y que se obtendrán dando valores particulares a los parámetros que contiene la solución general. Las soluciones, si las hay, que no están incluidas en la solución general las denominaremos soluciones singulares.



FUENTE:


http://personal.us.es/niejimjim/tema01.pdf

ALGORITMO:

1. Se tiene la ecuación.

2. Se integran los términos. 

3. Se resuelve y= 

4. Después se despeja la constante c.

5. Se obtiene el resultado de c 

6. Sustituir el valor de c en la ecuación. 

7. Hacer una tabla y darle valores a "x" de -3 a 3. 

8. Y obtener los valores de "y" sustituyendo los valores en la ecuación. 

9. Una vez que se tienen todos los valores de la tabla.

10. Graficar. 

11. Fin 

EJEMPLO:

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARADAS

CONCEPTO:  Las ecuaciones diferenciales de variables separables son aquellas donde puede separarse en cada miembro de la ecuación una variable. Se dice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible escibir la ecuación en la forma

El factor integrante , es decir, si multiplicamos esta expresión por esta cantidad tendremos

Lo cual resulta fácil de integrar siendo  una función de la variable x y una función de y, sin embargo, para la obtención de la solución es importante considerar si las funciones son integrables.

FUENTE:

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferential/variables_separables.htm

ALGORITMO:

1. Se tiene una ecuación.

2. cambiar y` por dy/dx

3. Pasar la función cos x  del otro lado del =

4. Comprobar que puedan separarse las variables siempre y cuando las derivadas (dx,dy) queden como numerador.

5. Separadas las variables deberán integrarse cada una con respecto a su propia variable colocando únicamente una constante.

6. En caso de ser posible debe despejarse la variable dependiente considerando la solución general cuando contenga la constante de integración.

7. Fin. 

EJEMPLO:

Familia de Curvas de una Ecuación Diferencial

FAMILIA DE CURVAS DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

CONCEPTO: Se le denomina familia de curvas al conjunto de soluciones particulares de una ecuación diferencial.

Se usa este termino generalmente cuando se esta resolviendo una ecuación Diferencial pues la respuesta de esta ecuación es una función con un valor constante resultado de un proceso de integración y que determina una familia de curvas que pueden pasar por un punto especifico dependiendo del valor que se le de a esta constante. 

Cuando se le dan valores iniciales al problema de la ecuación diferencial se puede hallar el valor de la constante para que la curva pase por un punto especifico. Algunas veces la familia de curvas se nos presenta en forma de un enunciado a partir del cual debemos obtener la ecuación


FUENTE:


https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1-geo/node9.html



ALGORITMO:

1. Se tiene una ecuación diferencial y los puntos dados x=  y=  

2. Se sustituyen los valores "x"  y  "y" en la ecuación. 

3. Se despeja la constante  c. 

4. Se hace una tabla dándole valores a "x" de -3 a 3. 

5. Para hallar los valores de "y" sustituir los valores en la ecuación original. 

6. Realizar el mismo procedimiento para los otros puntos.

7. Una vez teniendo los valores de la tablas graficar.

8. Fin. 

EJEMPLO:

Ecuaciones Diferenciales

                ECUACIONES DIFERENCIALES 

CONCEPTO: Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.

Una ecuación diferencial generalmente cuenta con una solución general y un número indefinido de soluciones particulares. Para que una solución sea válida debe cumplirse la igualdad en la ecuación.

FUENTE:

 https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1-geo/node3.html

ALGORITMO:

1. Se tiene una ecuación original x''=  y tres posibles respuestas a,b,c.

2. Derivar la primer posible respuesta "a" según el grado de la ecuación original.

3. Obtener el resultado de dicha derivada x''=

4. Sustituir el resultado obtenido en la ecuación original e igualar con 0

5. Si al resolver la ecuación el resultado es 0=0 

6. Entonces la opción "a" si es solución de la ecuación diferencial 

7. Derivar la segunda posible respuesta "b" según el grado de la ecuación original

8. Obtener el resultado de dicha derivada x''=

9. Sustituir el resultado obtenido en la ecuación original e igualar con 0

10.Si al resolver la ecuación el resultado es 0=0 

11. Entonces la opción "b" si es solución de la ecuación diferencial

12. Derivar la segunda posible respuesta "c" según el grado de la ecuación original

13. Obtener el resultado de dicha derivada x''=

14. Sustituir el resultado obtenido en la ecuación original e igualar con 0.

15. Si al resolver la ecuación el resultado es 0=0.

16. Entonces la opción "c" si es solución de la ecuación diferencial.

17. Fin.

EJEMPLO:

Integración por partes

           

INTEGRACIÓN POR PARTES

CONCEPTO: El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto  de funciones como se muestra a continuación.

d(u.v) = u dv + v du

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella.

FUENTE: 

http://www.calculointegrales.com/p/blog-page.html

ALGORITMO:

1. Se tiene una integral.

2. Derivar por medio de una tabla.

3. Poner en la tabla del lado izquierdo la u y del lado derecho dv. 

4. Colocar signo positivo, luego un signo negativo y así sucesivamente en la tabla 

5. Del lado colocar izquierdo derivar el primer término hasta llegar a cero 

6. Del lado derecho derivar el segundo término con ayuda de la fórmula de integración por partes.

7. Una vez llenada la tabla, multiplicar de forma diagonal y descendiente el primer término.de la primer columna por el segundo término de la segunda columna. 

8. E ir anotando los resultados de dicha multiplicación.

9. Y así sucesivamente hasta llegar al último término de la tabla.

10. Obtener el resultado final.

11. Fin.

EJEMPLO:

Teoría preliminar

                                                            DERIVADAS PARCIALES 

CONCEPTO: Son aquellas derivadas que se realizan a una función que contiene varias variables considerando únicamente a una literal como variable y el resto se considera constantes.

Las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

∂= derivada parcial   



FUENTE:   


http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_parciales     



ALGORITMO:

1. Se tiene una función con respecto a tres variables (x,y,z)
2. Derivar la función respecto a "x"   ∂f/∂x  
3, Obtener la derivada parcial de x    
4. Derivar la función respecto a "y"   ∂f/∂y  
5. Obtener la derivada parcial de y
6. Derivar la función respecto a "z"   ∂f/∂z  
7. Obtener la derivada parcial de z
8. Fin

EJEMPLO: