E.D.V.S. aplicaciones de crecimiento y decrecimiento

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 

CONCEPTO:  Una ecuación diferencial junto con condiciones complementarias de la función desconocida y sus derivadas, todas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye lo que llamaremos un problema de valor inicial. En concreto, para una ecuación diferencial de orden n, que en su forma más general se puede escribir F(x, y, y0 ,... ,yn) )=0, un problema de valor inicial es considerar, junto con dicha ecuación, n condiciones complementarias del tipo: y(x0) = y0, y0 (x0) = y1, . . . ., yn−1)(x0) = yn−1 Las condiciones complementarias se denominan condiciones iniciales. El término “condiciones iniciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0. Una solución de un problema de valor inicial es una función que satisface tanto la ecuación diferencial como todas las condiciones complementarias.

FUENTE:


http://personal.us.es/niejimjim/tema01.pdf

ALGORITMO:

1. Se tiene un problema de crecimiento.

2. a) Se pide calcular el tiempo que tardarán en alcanzar el doble de tamaño b) Indicar la población en 3 años.

3. Se integra la fórmula de crecimiento.

4. Derivar esa fórmula.

5. Despejar "p" con respecto al tiempo (t) y obtenemos la ecuación de crecimiento

6. Obtener las condiciones iniciales con respecto a los datos dados en el problema

7. Se despeja Po (población inicial).

8. Al despejar se obtiene el valor de "c"

9. En la ecuación de crecimiento sustituir los valores de tiempo dados y resolver.

10. Se obtendrá el valor de "k"

11. Sustituir el valor de "k" en la ecuación de crecimiento y se obtendrá la ecuación particular de la  población.

12.  Esa misma ecuación resolver aumentando el doble (que es lo que te se te pide en el problema).

13. Despejar  el tiempo "t" dicha ecuación.

14.  Se obtiene el valor de "t" y ya tenemos la respuesta del inciso a.

15. En la ecuación de crecimiento sustituir los valores de tiempo (3 años) y resolver

16. Se obtiene la respuesta del inciso b.

17. Fin.

EJEMPLO: