Ecuaciones Diferenciales : octubre 2015

jueves, 15 de octubre de 2015

E.D. Exacta solución particular

ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA

(solución particular)

CONCEPTO:

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0, \,\!

donde las derivadas parciales de las funciones M y N:

\frac{\partial M}{\partial y} \,\!

\frac{\partial N}{\partial x} \,\!

son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función

F(x,y)

tal que:

dF(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy \,\!

donde

\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)\,\!

\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)\,\!

Dado que

F(x,y)

es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}= \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} \,\!

FUENTE:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_exacta

ALGORITMO:

1. Comprobar que sea una ecuación diferencial exacta

2. Integrar a la función M(x,y)dx con respecto a "x" y sustituir a la constante "c" por la función c=h(y)

3. Se deriva a la función encontrada con respecto a "y" y se iguala con la función N(x,y)

4. Se integra la función con respecto a la variable "y" y se despejan h(y)

5. Se encuentra la solución general con la ecuación de el paso 2, sustituyendo el valor de h(y) e igualando con una constante de integración.

6. Sustituir los puntos (x,y) en "c"

7. Obtener el valor de "c"

8. sustituir el valor de "c" en la solución general

9 Y se obtiene la sol particular

10. Hacer lo mismo para los otros puntos dados.

11. Graficar
12. Fin

EJEMPLO:

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

CONCEPTO:

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

$\begin{cases} y'+p(x)y = q(x)\\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$

Donde

p(x)

q(x)

son funciones continuas en un intervalo abierto

(a,b) \subseteq \mathbb{R}

. La solución de esta ecuación viene dada por:

$y(x) =e^{ - \int_{x_0}^x p(s) ds } \left[ y_0 + \int_{x_0}^x q(s) e^{ \int_{x_0}^s \! p(t) dt } ds \right]$

FUENTE:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_lineal

ALGORITMO:

1. Identificar el factor integrante M=e^p(x)dx

2. Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante

3. Sustituir en el primer miembro la derivada del producto de la función por el factor integral d/dx y* M

4. Integrar la ecuación y despejar la variable independiente

5. Obtener la solución integral

6. Fin

EJEMPLO:

E.D. Lineales solución particular

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

(solución particular)

CONCEPTO:

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

$a_n(x) D^n y(x) + a_{n-1}(x)D^{n-1} y(x) + \cdots + a_1(x) D y(x) + a_0(x) y(x) =f(x)$

Para que una ecuación diferencial sea lineal debe darse que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni con ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación

para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

$\mathcal{L}y = f, \qquad \mathcal{L} = \sum_{k=0}^n a_k(x)D^k(\cdot)$

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

$\begin{cases} y'+p(x)y = q(x)\\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$

Donde

p(x)

q(x)

son funciones continuas en un intervalo abierto

(a,b) \subseteq \mathbb{R}

. La solución de esta ecuación viene dada por:

y(x) =e^{ - \int_{x_0}^x p(s) ds } \left[ y_0 + \int_{x_0}^x q(s) e^{ \int_{x_0}^s \! p(t) dt } ds \right]

FUENTE:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_lineal

ALGORITMO:

1. Identificar el factor integrante M= e^p(x)dx

2. Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante

3. Sustituir en el primer miembro la derivada del producto de la función por el factor integral d/dx y*M

4. Integrar la ecuación y despejar la variable independiente

5. Obtener la solución general

6. Despejar "c"

7. Sustituir los valores de los puntos (x,y) en "c"

8. Y obtener el valor de "c"

9. Sustituir el valor de "c" en la solución general

10. Obtener la solución particular y hacer lo mismo para los otros puntos dados

11. Hacer una tabla dándole valores a "x" de -3 a 3

12. Sustituir esos valores en la solución particular y resolver

13. Obtener valores para "y"

14. Graficar

15. Fin

EJEMPLO:

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

CONCEPTO:

Una ecuación diferencial exacta es aquella que cuenta con la siguiente estructura

M(x.y) + N(x,y) y' =0

(M(x,y))dx + (N(x,y))dy =0

Para comprobar la existencia de una ecuación diferencial exacta se debe cumplir la siguiente condición

@M/@y = @N/@x

FUENTE:

- Profesor Luis Gustavo García Flores

ALGORITMO:

1. Comprobar que sea una ecuación diferencial exacta

2. Integrar a la función integral M(x,y)dx con respecto a "x" y sustituir a la constante "c" por la función c=h(y)

3. Se deriva a la función encontrada con respecto a "y" y se iguala con la función N(x,y)

@f/@y=N(x,y)

4. Se integra la función con respecto a la variable "y" y se despeja h(y)

5. Se encuentra la solución general con la ecuación de el paso 2 sustituyendo el valor h(y) e igualando con una constante de integración

EJEMPLO:

E.D.Homegeneas solución particular

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEAS

(solución particular)

CONCEPTO:

Si la ecuación diferencial está escrita en la forma

$\begin{displaymath} M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{displaymath}$

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes

son funciones homogéneos del mismo grado.

Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

$\begin{displaymath} y^{\prime} = f(x,y) \end{displaymath}$

es homogénea, entonces el cambio de variable

la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

FUENTE:

- https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node3.html

ALGORITMO:

1. Se sustituye (y) y (dy) en la ecuación diferencial simplificando los términos semejantes.

2. Se separan las variables en cada miembro de la ecuación

3. Se resuelve la integral en cada miembro para encontrar la solución general.

4. Se calcula el valor de la constante "c" para el cálculo de las soluciones particulares.

5. Se realiza lo mismo en cada uno de los puntos pedidos

6. Se obtienen las soluciones particulares de cada uno.

7. Fin.

EJEMPLO:

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

CONCEPTO:

Una ecuación diferencial homogénea es aquella que se encuentra estructurada de la siguiente manera

f(xt,yt)=tn f(x)

El grado de homogeneidad de una ecuación diferencial se representa por el valor de la potencia "n". Cuando una ecuación no cuenta con dicho exponente puede considerarse nulo,

Algunos ejemplos;

Las funciones $f(x,y)=e{\frac{x}{y} }$ , $f(x,y)= \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ , $f(x,y)=\frac{x}{2x+y}$ son homogéneas de grado 0.
Las funciones , , son homogéneas de grado dos.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, $y^{\prime} = f(x,y)$ , es homogénea si la función es homogénea de orden cero.

FUENTE:

- Profesor Luis Gustavo Garcia Flores

- https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node3.html

ALGORITMO:

1. Se sustituye (y) y (dy) en la ecuación diferencial simplificando los términos semejantes.

2. Se separan las variables en cada miembro de la ecuación.

3. Se resuelve la integral en cada miembro para encontrar la solución general.

4. Fin

EJEMPLO:

2 PARCIAL CARBONO CATORCE

CARBONO CATORCE

CONCEPTO:

Los seres vivos al morir desprenden carbono catorce, que contienen dentro de sí. Willard Libby en 1950, desarrolló una técnica para identificar la antigùedad de un fósil no mayor a 12 años, considerando una vida útil de carbono catorce igual a 50,000 años.

El carbono 14 es ún isótopo del carbono, una de las diferencias entre los diferentes isótopos es el tiempo que tardan en desintegrarse. Para saber el tiempo que tarda en desintegrarse un elemento se utiliza el período de semi desintegración, que es el tiempo que transcurre hasta que la cantidad de muestra se reduce a la mitad.

FUENTE:

http://www.batanga.com/curiosidades/4547/como-funciona-la-datacion-por-carbono-14

ALGORITMO:

1. Tenemos la fórmula Q= c ek*t

2. Sustituir el valor de carbono 14 del problema

3. En la fórmula Q= c ek*t despejamos "c"

4. Sustituir los valores dados

5. Resolver

6. Despejar "k"

7. Tenemos la ecuación general de carbono 14 Q= Qo e(ln/5600)*t

8. En dicha ecuación sustituir la cantidad de carbono dado en el problema

9. Sustituir con los valores dados

10. Despejar "t"

11. Sustituir valores

12. Obtener el resultado

EJEMPLO:

Enfriamiento

ENFRIAMIENTO

CONCEPTO:

En un sistema cerrado el incremento o decremento de temperatura se encuentra determinado por la temperatura ambiente, la cual es un punto de referencia debido a que no pueden sobrepasar su valor según las necesidades del problema en forma ascendente o descendente.

Ley del enfriamiento de Newton: Un cuerpo que tiene una temperatura de 70 °F es depositado (en el tiempo t D 0) en un lugar donde la temperatura se mantiene a 40 °F. Después de 3 min, la temperatura del cuerpo ha disminuido a 60 °F. ¿Cúal es la temperatura del cuerpo después de 5 min? 2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 °F?

Si T(t) es la temperatura del cuerpo en °F después de t minutos, entonces la ecuación diferencial que modela a T (t) es:  T´(t )=k[T(t)-Ta•] donde Ta = 40 °F es la temperatura del medio. Con condición T(0)=70 °F y T(3)=60 Resolvemos la ecuación: Reemplazamos el valor de Ta y dejamos la ecuación en función de c, k y t

Mediante la condición T(0) determinamos c Entonces llegamos a la ecuación. Usando la condición T(3) determinamos el valor de k Llegando a la ecuación

FUENTE:

- Profesor Luis Gustavo García Flores
- http://es.slideshare.net/cemepn/ley-de-enfriamiento-de-newton-16840945

ALGORITMO:

1. Tenemos la ecuación general del enfriamiento T(t)= c ek*t + Ta

2. Sustituir en la ecuación general el valor de temperatura inicial (To) y la temperatura ambiente (Ta) dados en el problema.

3. Despejar c

4. Sustituir los valores y obtener el valor de c

5. Nuevamente en la ecuación general sustituir el valor de la temperatura despues de 5 min, el valor que obtuvimos en "c" y la temperatura ambiente

6. Resolver dicha ecuación

7. Se obtiene el valor de "k "

8. Sustituir todos los valores obtenidos en la ecuación general

9. Resolver la ecuación

10. Obtener el resultado.

11. Fin

EJEMPLO: