Ecuaciones Diferenciales : 2015

miércoles, 2 de diciembre de 2015

E.L.H

ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA

CONCEPTO:

Es aquella ecuación que se representa mediante el decremento de la derivada igualando la ecuación a cero. Por lo contrario se trata de una ecuación lineal no homogénea si se iguala a un número diferente de cero.

E. L. H. an(x) dny/dx`` + an(x) dn-1y/dxn-1 + .... a2(x) d2y/dx2 + a1(x) dy/dx + a0(x)y = 0

E.L.N.H. an(x) dny/dx`` + an(x) dn-1y/dxn-1 + .... a2(x) d2y/dx2 + a1(x) dy/dx + a0(x)y = g(x)

FUENTE:

- M. en E. Luis Gustavo García Flores

ALGORITMO:

1. Se tiene una ecuación diferencial homogénea

2. Dicha ecuación se convierte a una ecuación polinomial encontando las raíces de ésta.

3. Cuando la solución tiene raíces reales éstas deben ser linealmente independientes

4. Se sustituyen los valores en la fórmula y= c1 e^m1x + c2 e^m2x

5. Se obtiene el resultado

6. Fin

EJEMPLO:

DEPENDENCIA LINEAL

CONCEPTO:

Dado un conjunto finito de vectores

{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\cdots, \mathbf{v}_n}

, se dice que estos vectores son linealmente independientes si existen números

\ a_1, a_2,\cdots, a_n

Dos o más funciones son dependientes cuando alguna de ellas puede representarse en función de otra.

La dependencia lineal de dos o más funciones se calcula mediante el wroskiano de las funciones que se encuentran mediante la determinante de las funciones. Cuando el wroskiano es nulo (w=0) se considera que las funciones son linealmente DEPENDIENTES, cuando es diferente de cero se considera linealmente INDEPENDIENTE.

FUENTE:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal

- M. en E. LUIS GUSTAVO GARCÍA FLORES

ALGORITMO:

1. Se tienen tres funciones y`= y2= y3=

2. Los tres valores se ponen de forma horizontal en la matriz

3. Se saca la primer derivada de cada valor

4. Se saca la segunda derivada

5. Se repiten las dos primeras filas de la matriz

6. Se multiplican los valores de arriba hacia abajo en forma diagonal con signo positivo

7. Se multiplican los valores de abajo hacia arriba en forma diagonal pero ahora con signo negativo

8. Se aplica la ley de los signos (en caso de ser necesario)

9. Se realiza la simplificación del resultado obtenido

10. Se encuentra el valor de "w" si es iguala cero se considera una función linealmente dependiente

11. Fin

EJEMPLO:

E. D. L. H.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS

CONCEPTO:

Una ecuación diferencial de orden superior se representa según su grado de la siguiente manera:

an yn + an-1 yn-1 + ..... a2 y2 + a1y = 0

Para la resolución se debe resolver realizando la conversión a una función polinomial de la forma:

an mn + an-1 mn-1 + ..... a2 m2 + a1m+a0 = 0

FUENTE:

- Profesor M. en E. Luis Gustavo García Flores

ALGORITMO:

1. Se tiene una E. D. L. H.

2. Identificar el valor de a= b= c= y aplicar la f´fórmula general

3, Obtener el valor de x1= y x2=

4. Sustituir los valores en la fórmula y=c1 e^m1x + c2 e^m2x

5. Se obtiene la solución general

6. Obtener valor de c1 sustituyendo en la sol, gral, los puntos dados (x.y)

7. Sustituir los puntos dados (x,y) y aplicar la derivada u dv/dx + v du/dx

8. Utilizar un método y resolver

9. Obtener el valor de c2

10. Sustituir los valores de c1 y c2 en la solución general

11. Obtener la solución particular

12. Hacer la tabla y darle valores a "x" de -3 a +3 y graficar

13.Fin

EJEMPLO:

ECUACIONES DE BERNOULLI

CONCEPTO:

La ecuación diferencial de Bernouilli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. En una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1-α = v,1

Se resuelve mediante la sustitución de un factor "w" que es el inverso de la variable dependiente. La estructura de una ecuación de bernoulli es:

dy/dx + p(x) y = q(x) yn

FUENTE:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_de_Bernoulli

- Profesor M. en E. Luis Gustavo García Flores

ALGORITMO:

1. Se tiene una ecuación que pasa por los puntos dados

2. Simplificar dicha ecuación

3. Obtener valor de "n" de la forma n-1

4. Se debe convertir la ecuación en una ecuación lineal modificando la variable dependiente al sustituir la expresión: dw/dx + (1-n) p(x) w = (1-n) q(x)

5. Resolver la ecuación lineal

6. Identificar el factor integral

7. Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante

8. Sustituir en el primer miembro la derivada del producto de la función por el factor integral

9. Integrar la ecuación y resolver

10. Despejar la variable independiente "y"

11. Se obtiene la solución general

12. Despejar"c" y sustituir por los puntos que pasa (x,y)

13. Sustituir el valor de "c" en la solución general

14. Se obtiene la solución particular

15. Hacer la tabla y darle valores a "x" de -3 a +3 y graficar

16. Fin

EJEMPLO:

3er. PARCIAL ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

CONCEPTO:

Un circuito en serie es una configuración de conexión en la que los bornes o terminales de los dispositivos (generadores, resistencias, condensadores, interruptores, entre otros) se conectan secuencialmente. La terminal de salida de un dispositivo se conecta a la terminal de entrada del dispositivo siguiente.

La corriente que circula en ellos se comporta en forma análoga a una ecuación diferencial lineal. Se utilizan las siguientes fórmulas;

R dq/dt + i/c q = E (t) donde R=resistencia c=capacitores

L di/dt + Ri = E (t) donde L=inductancia R=resistencia

FUENTE:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_en_serie
- Profesor M. en E, Luis Gustavo Garcia Flores

ALGORITMO:

1. Se da un problema con ciertos datos
2. En base a esos datos se sustituyen en la fórmula di/dt + Ri = E (t)
3, Resolver esa fórmula
4. El resultado de esa fórmula es una ecuación diferencial
5, Identificar el factor integral M=e integralp(x)dx
6. Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante
7, Sustituir en el primer miembro la derivada del producto de la función por el factor integral
8. Resolver la integral
9. Se obtiene la solución general
10. A partir dela condición inicial dada por el problema, sustituir los valores
11. Se obtiene el valor de "c"
12. Se sustituye el valor de "c" en la solución general
13, Se obtiene la ecuación particular.
14. Fin

EJEMPLO:

jueves, 15 de octubre de 2015

E.D. Exacta solución particular

ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA

(solución particular)

CONCEPTO:

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0, \,\!

donde las derivadas parciales de las funciones M y N:

\frac{\partial M}{\partial y} \,\!

\frac{\partial N}{\partial x} \,\!

son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función

F(x,y)

tal que:

dF(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy \,\!

donde

\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)\,\!

\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)\,\!

Dado que

F(x,y)

es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}= \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} \,\!

FUENTE:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_exacta

ALGORITMO:

1. Comprobar que sea una ecuación diferencial exacta

2. Integrar a la función M(x,y)dx con respecto a "x" y sustituir a la constante "c" por la función c=h(y)

3. Se deriva a la función encontrada con respecto a "y" y se iguala con la función N(x,y)

4. Se integra la función con respecto a la variable "y" y se despejan h(y)

5. Se encuentra la solución general con la ecuación de el paso 2, sustituyendo el valor de h(y) e igualando con una constante de integración.

6. Sustituir los puntos (x,y) en "c"

7. Obtener el valor de "c"

8. sustituir el valor de "c" en la solución general

9 Y se obtiene la sol particular

10. Hacer lo mismo para los otros puntos dados.

11. Graficar
12. Fin

EJEMPLO:

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

CONCEPTO:

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

$\begin{cases} y'+p(x)y = q(x)\\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$

Donde

p(x)

q(x)

son funciones continuas en un intervalo abierto

(a,b) \subseteq \mathbb{R}

. La solución de esta ecuación viene dada por:

$y(x) =e^{ - \int_{x_0}^x p(s) ds } \left[ y_0 + \int_{x_0}^x q(s) e^{ \int_{x_0}^s \! p(t) dt } ds \right]$

FUENTE:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_lineal

ALGORITMO:

1. Identificar el factor integrante M=e^p(x)dx

2. Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante

3. Sustituir en el primer miembro la derivada del producto de la función por el factor integral d/dx y* M

4. Integrar la ecuación y despejar la variable independiente

5. Obtener la solución integral

6. Fin

EJEMPLO:

E.D. Lineales solución particular

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

(solución particular)

CONCEPTO:

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

$a_n(x) D^n y(x) + a_{n-1}(x)D^{n-1} y(x) + \cdots + a_1(x) D y(x) + a_0(x) y(x) =f(x)$

Para que una ecuación diferencial sea lineal debe darse que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni con ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación

para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

$\mathcal{L}y = f, \qquad \mathcal{L} = \sum_{k=0}^n a_k(x)D^k(\cdot)$

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

$\begin{cases} y'+p(x)y = q(x)\\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$

Donde

p(x)

q(x)

son funciones continuas en un intervalo abierto

(a,b) \subseteq \mathbb{R}

. La solución de esta ecuación viene dada por:

y(x) =e^{ - \int_{x_0}^x p(s) ds } \left[ y_0 + \int_{x_0}^x q(s) e^{ \int_{x_0}^s \! p(t) dt } ds \right]

FUENTE:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_lineal

ALGORITMO:

1. Identificar el factor integrante M= e^p(x)dx

2. Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante

3. Sustituir en el primer miembro la derivada del producto de la función por el factor integral d/dx y*M

4. Integrar la ecuación y despejar la variable independiente

5. Obtener la solución general

6. Despejar "c"

7. Sustituir los valores de los puntos (x,y) en "c"

8. Y obtener el valor de "c"

9. Sustituir el valor de "c" en la solución general

10. Obtener la solución particular y hacer lo mismo para los otros puntos dados

11. Hacer una tabla dándole valores a "x" de -3 a 3

12. Sustituir esos valores en la solución particular y resolver

13. Obtener valores para "y"

14. Graficar

15. Fin

EJEMPLO:

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

CONCEPTO:

Una ecuación diferencial exacta es aquella que cuenta con la siguiente estructura

M(x.y) + N(x,y) y' =0

(M(x,y))dx + (N(x,y))dy =0

Para comprobar la existencia de una ecuación diferencial exacta se debe cumplir la siguiente condición

@M/@y = @N/@x

FUENTE:

- Profesor Luis Gustavo García Flores

ALGORITMO:

1. Comprobar que sea una ecuación diferencial exacta

2. Integrar a la función integral M(x,y)dx con respecto a "x" y sustituir a la constante "c" por la función c=h(y)

3. Se deriva a la función encontrada con respecto a "y" y se iguala con la función N(x,y)

@f/@y=N(x,y)

4. Se integra la función con respecto a la variable "y" y se despeja h(y)

5. Se encuentra la solución general con la ecuación de el paso 2 sustituyendo el valor h(y) e igualando con una constante de integración

EJEMPLO:

E.D.Homegeneas solución particular

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEAS

(solución particular)

CONCEPTO:

Si la ecuación diferencial está escrita en la forma

$\begin{displaymath} M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{displaymath}$

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes

son funciones homogéneos del mismo grado.

Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

$\begin{displaymath} y^{\prime} = f(x,y) \end{displaymath}$

es homogénea, entonces el cambio de variable

la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

FUENTE:

- https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node3.html

ALGORITMO:

1. Se sustituye (y) y (dy) en la ecuación diferencial simplificando los términos semejantes.

2. Se separan las variables en cada miembro de la ecuación

3. Se resuelve la integral en cada miembro para encontrar la solución general.

4. Se calcula el valor de la constante "c" para el cálculo de las soluciones particulares.

5. Se realiza lo mismo en cada uno de los puntos pedidos

6. Se obtienen las soluciones particulares de cada uno.

7. Fin.

EJEMPLO:

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

CONCEPTO:

Una ecuación diferencial homogénea es aquella que se encuentra estructurada de la siguiente manera

f(xt,yt)=tn f(x)

El grado de homogeneidad de una ecuación diferencial se representa por el valor de la potencia "n". Cuando una ecuación no cuenta con dicho exponente puede considerarse nulo,

Algunos ejemplos;

Las funciones $f(x,y)=e{\frac{x}{y} }$ , $f(x,y)= \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ , $f(x,y)=\frac{x}{2x+y}$ son homogéneas de grado 0.
Las funciones , , son homogéneas de grado dos.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, $y^{\prime} = f(x,y)$ , es homogénea si la función es homogénea de orden cero.